الجبر

lunes, 25 de enero de 2016

Tarea 9: Teorema del Resto

Si C(x) es el cociente y R(x) el resto de la división de un polinomio cualquiera P(x) entre el binomio (x – a), aplicando el algoritmo de la división (la "prueba" de la división):

P(x) = C(x) · (x – a) + R(x)

Luego, el valor numérico de P(x), para x = a, es igual al resto de su división entre x – a, es decir:

P(a) = C(a) · (a – a) + R(a) = R(a)

Y este resultado se conoce como teorema del resto.

Este teorema nos permite averiguar el resto de la división de un polinomio P(x) entre otro de la forma (x – a), sin necesidad de efectuar esta división.

De este teorema se deduce que un polinomio P(x) es divisible (que sea divisible es lo mismo que decir que el resto sea 0) por (x – a) si y solo a es una raíz del polinomio, es decir, si y solo si P(a) = 0.

Así, por ejemplo, el resto de la división de P(x) = x³ + 3x²– 7x – 3 entre x – 2 es:

P(2) = (2)³ + 3 · (2)² – 7 · (2) – 3 = 3

De donde se deduce que esa división no es exacta y, por tanto, x – 2 no es un divisor de P(x).

Ejercicios de práctica: (En equipos resolvéis y dais las soluciones como comentarios a esta entrada)

1. Determina el resto de las siguientes divisiones sin necesidad de efectuarlas.

a) (x⁴ – 16) : (x – 2) = c) (–x² + x + 1) : (x + 3) =

b) (x⁵ + x – 2x³) : (x – 1) = d) (x³ + 2x² – x + 1) : (x – 2) =

2. Dados los polinomios P(x) = x² + 3x + 5, Q(x) = x² – 4x + 4 y R(x) = x³ – 20, indica, sin hacer la división, cuales son divisibles por x – 2.

3. Hallar el valor de m para que el polinomio P(x) = 8x³ – 4x² + 2x + m sea divisible por (x – 1/2).

4. Hallar el valor de m para que el polinomio P(x) = x³ – 9x² + mx – 32 sea divisible por (x – 4).

5. Hallar el valor de m para que el polinomio P(x) = 2x³+ 2x² – 4m + 3 sea divisible por (x + 1/2).

6. Hallar el valor de m y n para que el polinomio P(x) = x³ + mx² + nx + 6 sea divisible por (x + 3) y por (x – 2).